Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，記A（n）=a₁+a₂+…+a_n，B（n）=a₂+a₃+…+a_n+1，C（n）=a₃+a₄+…+a_n+2，n=1，2，…．
（Ⅰ）若a₁=1，a₂=3，且對任意n∈N^*，三個數A（n），B（n），C（n）組成等差數列，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列，證明：數列{a_n}是公比為q的等比數列；
（Ⅲ） （理科）在（Ⅰ）的條件下，求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥p

2n+1

對一切n∈N^*均成立的最大實數p．

Answer 1

分析：（1）由A（n），B（n），C（n）組成等差數列，可得a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，進而可判斷出a_n+2-a_n-1=2，結合等差數列的定義，可判斷數列{a_n}為等差數列，進而得到數列的通項公式；
（Ⅱ）若三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列，可得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），進而可得

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，故數列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數列，
（III）不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥p

2n+1

可化為p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)對n∈N*恒成立，構造函數并求出函數的最小值，可得p的取值范圍，進而得到p的最大值．

解答：解：（Ⅰ）對任意n∈N^*，三個數A（n），B（n），C（n）是等差數列，
所以B（n）-A（n）=C（n）-B（n），
即a_n+1-a₁=a_n+2-a₂，
亦即a_n+2-a_n-1=a₂-a₁=2．
故數列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
于是a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）若對于任意n∈N^*，三個數A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數列，
則B（n）=qA（n），C（n）=qB（n），于是C（n）-B（n）=q[B（n）-A（n）]，
得a_n+2-a₂=q（a_n+1-a₁），
即a_n+2-qa_n+1=a₂-a₁．由n=1有B（1）=qA（1），即a₂=qa₁，從而a_n+2-qa_n+1=0．
因為a_n＞0，所以

an+2

an+1

=

a2

a1

=q，故數列{a_n}是首項為a₁，公比為q的等比數列，
（Ⅲ）（理科）
由題意得p≤

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)對n∈N*恒成立
記F(n)=

1

2n+1

(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)，
則

F(n+1)

F(n)

=

1 2n+3 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )…(1+ 1 an )(1+ 1 an+1 )

1 2n+1 (1+ 1 a1 )(1+ 1 a2 )…(1+ 1 an )

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞

2(n+1)

2(n+1)

=1
∵F（n）＞0，
∴F（n+1）＞F（n），
即F（n）是隨n的增大而增大F（n）的最小值為F(1)=

2

3

3

，
∴p≤

2

3

3

，
即pmax=

2

3

3

．

點評：本題考查的知識點是等差數列的定義及通項公式，等比數列的定義及判定方法，數列的遞推公式，恒成立問題，是數列與函數的綜合應用，難度較大．