Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施不能建設(shè)開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設(shè)．

(I)將（O為坐標(biāo)原點）的面積S表示成f的函數(shù)S(t)；
(II)若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）時,.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的斜率為在的導(dǎo)函數(shù)值，從而得到直線的方程為；進(jìn)一步通過確定縱、橫截距，計算三角形的面積.
（Ⅱ）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定最值”. 注意到本題駐點唯一，其必是“最值點”.
試題解析：Ⅰ），直線的斜率為，
直線的方程為
令得  3分
令,得,
的面積,             6分

（Ⅱ）,
因為,由,得,            9分
當(dāng)時, ,
當(dāng)時, .
已知在處, ,故有，
故當(dāng)時,               13分
考點：生活中的優(yōu)化問題舉例，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.