Question

【題目】已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時， 的內心的軌跡方程為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】考查更為一般的問題：設P為橢圓C: 上的動點， 為橢圓的兩個焦點， 為△PF1F2的內心，求點I的軌跡方程．

解法一：如圖，設內切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z， ，則.

直線IF1與IF2的斜率之積： ，

而根據海倫公式，有△PF1F2的面積為

因此有.

再根據橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，

離心率e滿足的橢圓，

其標準方程為.

解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：

，

其中r為內切圓的半徑，解得.

另一方面，由內切圓的性質及焦半徑公式得：

從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：

.

本題中： ，代入上式可得軌跡方程為： .