Question

函數y=e^x（e為自然對數的底數）的圖象向下平移b（0＜b，b≠1）個單位后得到的圖象記為C_b，C_b與x軸交于A_b點，與y軸交于B_b點，O為坐標原點
（1）寫出C_b的解析式和A_b，B_b兩點的坐標
（2）判斷線段OA_b，OB_b長度大小，并證明你的結論
（3）是否存在兩個互不相等且都不等于1的正實數m，n，使得Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似，如果相似，能否全等？證明你的結論．

Answer 1

（1）由題得y=e^x-b，
令y=0，A_b（lnb，0）；
令x=0，B_b（0，1-b）．
（2）OA_b=|lnb|，OB_b=|1-b|．
①當0＜b＜1時，OA_b=-lnb，OB_b=1-b．
設函數f（x）-lnx-x-1 （0＜x＜1），
f'（x）=

1

x

-1＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴-lnx＞-x+1
∴OA_b＞OB_b．
②當b＞1時，同理可得OA_b＞OB_b，
（3）①當三角形同在第二象限時，0＜m＜1，0＜n＜1時，OA_b＞OB_b，
若Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似，只有

1-m

-lnm

=

1-n

-lnn

?

1-m

lnm

=

1-n

lnn

，
設函數g（x）=

1-x

lnx

（0＜x＜1），
g'（x）=

-lnx- 1 x +1

ln 2x

=

x-xlnx-1

xln 2x

（0＜x＜1），
設函數h（x）=x-lnx-1，h'（x）=-lnx＞0在（0，1）上恒成立，
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，∴h（x）＜h（1）=0在（0，1）上恒成立，
∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，g（x）在（0，1）上單調遞減，
所以當0＜m＜1，0＜n＜1時，不存在．當三角形同在第四象限時，m＞1，n＞1，同理可得m，n不存在．
③當三角形在不同象限時，不妨設0＜m＜1，n＞1時，若Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似，
則OA_m＞OB_m，OA_n＜OB_n，則有

lnm

m-1

=

n-1

lnn

，
設M={f₁m|f₁m=

lnm

m-1

（0＜m＜1）}，N={f₂（n）|f₂（n）=

n-1

lnn

（n＞1）}，
有g（x）性質可得：取m∈（

1

e3

，

1

e

），f₁（m）=

lnm

m-1

在（

1

e3

，

1

e

）上單調遞增，
∴f₁（m）∈[

e

e-1

，

3e3

e3-1

]，2∈[

e

e-1

，

3e3

e3-1

]
取n∈[e，e²]，f₂（n）=

n-1

lnn

在[e，e²]遞增，
∴f2(n)∈[e-1，

e2-1

2

]，2∈[e-1，

e2-1

2

]．
可得M∩N≠φ，因此存在0＜m＜1，n＞1，使得Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似．
如果全等，則有.

OA m=OB n OB m=OA n

?

-lnm=n-1 1-m=lnn

?

lnm=1-n lnn=1-m

．
由lnm=1-n?m=e^1-n，代入lnn=1-m，
lnn=1-e^1-n?eⁿlnn=eⁿ-e．
設函數F（x）=e^xlnx-e^x+e （x＞1），
F'（x）=e^xlnx+

ex

x

-ex=

ex

x

（xlnx-x+1）．
設函數H（x）=xlnx-x+1   （ x＞1），
H'（x）=lnx+1-1=lnx＞0，
所以H（x）在（1，+∞）上單調遞增，∴H（x）＞H（1）=0．
所以F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上單調遞增
∴F（x）＞F（1）=0．
因此不存在n＞1，使得eⁿlnn=eⁿ-e．
所以不存在兩個互不相等且都不等于1的正實數m，n，使得Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n全等．