Question

設函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同時滿足下列條件：①f（1）=1；②當x∈R時，恒有f（x）≥x成立；③當x∈R時，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．
（1）求f（x）的表達式；
（2）設g（x）=4f（x）-4x+2，試問g（x）是否存在這樣的區間[a，b]（a＜b）同時滿足下列條件：①g（x）在[a，b]上單調；②若g（x）的定義域是[a，b]，則其值域也是[a，b]．若存在，求出這樣的區間[a，b]，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法結合題中條件，利用二次函數的性質建立關于a，b，c的方程求解即得；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設x存在這樣的區間[a，b]（a＜b）同時滿足兩個條件，再利用函數的單調性，求出a，b的值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）因當x∈R時，恒有f（x）≥x成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）²-4ac≤0，且a＞0，①
當x∈R時，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，則函數f（x）=ax²+bx+c和圖象的對稱軸是x=-1，
即-

b

2a

=-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
∴f（x）的表達式為f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x²-2x+3，
假設存在這樣的區間[a，b]（a＜b）同時滿足下列條件：①g（x）在[a，b]上單調；②若g（x）的定義域是[a，b]，則其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上單調，∴a≥1或b≤1．
當a≥1時，g（x）在[a，b]上單調增，若g（x）的定義域是[a，b]，則值域為[a²-2a+3，b²-2b+3]，
∴

a2-2a+3=a b2-2b+3=b

，此方程組無解；
當b≤1時，g（x）在[a，b]上單調減，若g（x）的定義域是[a，b]，則值域為[b²-2b+3，a²-2a+3]，
∴

a2-2a+3=b b2-2b+3=a

，此方程組無解；
綜上可知，不存在這樣的區間[a，b]（a＜b）同時滿足條件．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、方程組的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．