Question

【題目】已知函數，．

（1）求的最大值與最小值；

（2）若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）的最大值為，最小值為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）直接求出函數的導數，通過導數為0，求出函數的極值點，判斷函數的單調性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；

（2）利用（1）的結論，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉化為4-At＞對任意t∈[0，2]恒成立，通過求實數A的取值范圍．

試題解析：（1）因為函數f（x）=﹣lnx，

所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，

因為x∈[1，3]，

當1＜x＜2時 f′（x）＜0；當2＜x＜3時，f′（x）＞0；

∴f（x）在（1，2）上單調減函數，在（2，3）上單調增函數，

∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=﹣ln2；

又f（1）=，f（3）=，

∵ln3＞1∴

∴f（1）＞f（3），

∴x=1時 f（x）的最大值為，

x=2時函數取得最小值為﹣ln2．

（2）由（1）知當x∈[1，3]時，f（x），

故對任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，

只要4﹣At＞對任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立

記 g（t）=At，t∈[0，2]

∴，解得A，

∴實數A的取值范圍是（﹣∞，）．