Question

設函數f(x)=

x

3

-3a

x

2

+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11）．
（I）求a，b的值；
（II）如果函數g（x）=f（x）+c有三個不同零點，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數在切點處的導數值為切線斜率，切點在切線上，列方程組可解；
（Ⅱ）求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數的極值，要使函數g（x）=f（x）+c有三個不同零點，只需函數的極值異號，從而可得不等式，由此即可求得c的取值范圍．

解答：解：（I）求導得f′（x）=3x²-6ax+3b．
由于f（x）的圖象與直線12x+y-1=0相切于點（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：

1-3a+3b=-11 3-6a+3b=-12

，解得：a=1，b=-3．
（II）由a=1，b=-3得：g′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
令g′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；令g′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故當x∈（-∞，-1）時，g（x）是增函數；當x∈（-1，3）時，g（x）是減函數；
當x∈（3，+∞）時，g（x）是增函數，
所以g（x）的極大值為5+c；g（x）的極小值為c-27
∵函數g（x）=f（x）+c有三個不同零點，∴（5+c）（c-27）＜0
∴-5＜c＜27
∴c的取值范圍為（-5，27）．

點評：本題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．