Question

設函數f(x)=x3-

9

2

x2+6x-a，
（1）對于任意實數x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導數，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）_min≥m成立即可．
（2）若欲使方程f（x）=0有且僅有一個實根，只需求出函數的極大值小于零，或求出函數的極小值大于零即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
因為x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x²-9x+（6-m）≥0恒成立，
所以△=81-12（6-m）≤0，
得m≤-

3

4

，即m的最大值為-

3

4

（2）因為當x＜1時，f′（x）＞0；
當1＜x＜2時，f′（x）＜0；當x＞2時，f′（x）＞0；
所以當x=1時，f（x）取極大值f(1)=

5

2

-a；
當x=2時，f（x）取極小值f（2）=2-a；
故當f（2）＞0或f（1）＜0時，
方程f（x）=0僅有一個實根、解得a＜2或a＞

5

2

點評：本題主要考查了一元二次函數恒成立問題，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．