Question

（2013•保定一模）在△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，三邊a、b、c成等差數列，且B=

π

4

，則（cosA一cosC）²的值為

2

．

Answer 1

分析：由a，b及c成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，將關系式利用正弦定理化簡，得到sinA+sinC的值，設cosA-cosC=x，根據題意列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出所求式子的值．

解答：解：∵三邊a、b、c成等差數列，且B=

π

4

，
∴2b=a+c，A+C=

3π

4

，
將2b=a+c利用正弦定理化簡得：2sinB=sinA+sinC，即sinA+sinC=

2

，
設cosA-cosC=x，
可得：（sinA+sinC）²+（cosA-cosC）²=2+x²，
即sin²A+2sinAsinC+sin²C+cos²A-2cosAcosC+cos²C=2-2cos（A+C）=2-2cos

3π

4

=2+x²，
則（cosA-cosC）²=x²=-2cos

3π

4

=

2

．
故答案為：

2

點評：此題考查了三角函數的恒等變換及化簡求值，以及等差數列的性質，涉及的知識有：正弦定理，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．