Question

若關于x的不等式（組）0≤x2+

7

9

x-

2n

(2n+1)2

＜

2

9

對任意n∈N^*恒成立，則所有這樣的解x的集合是

{-1，

2

9

}

．

Answer 1

分析：將

2n

(2n+1)2

的分子分母同除2ⁿ，結合“對勾函數“的單調性，求出

2n

(2n+1)2

=

1

(2n+ 1 2n )+2

∈（0，

2

9

]，進而將恒成立問題轉化為最值問題后，可得x2+

7

9

x-

2

9

=0，解方程可得答案．

解答：解：若0≤x2+

7

9

x-

2n

(2n+1)2

＜

2

9

對任意n∈N^*恒成立，
即

2n

(2n+1)2

-

2

9

≤x2+

7

9

x-

2

9

＜

2n

(2n+1)2

對任意n∈N^*恒成立，
∵

2n

(2n+1)2

=

1

(2n+ 1 2n )+2

∈（0，

2

9

]
故0≤x2+

7

9

x-

2

9

≤0
即x2+

7

9

x-

2

9

=0
解得x=-1或x=-

2

9

故所有這樣的解x的集合是{-1，

2

9

}
故答案為：{-1，

2

9

}

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，基本不等式，其中將恒成立問題轉化為最值問題是解答此類問題的關鍵．