Question

若關于x的不等式組

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

的整數解集為{-2}，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：首先分析題目已知不等式組的整數解集為{-2}，求k的取值范圍，考慮到通過分解因式的方法化簡方程組，然后分類討論當k＞

5

2

時和當k≤

5

2

時的情況解出方程組含有參數k的解集，然后根據整數解集為{-2}，判斷k的取值范圍即可．

解答：解：關于x的不等式組

x2-x-2＞0 2x2+(2k+5)x+5k＜0

，變形為

(x-2)(x+1)＞0 (x+k)(2x+5)＜0

當k＞

5

2

時：
原方程組變形為：

x＜-1  x＞2 -k＜x＜ - 5 2

，故方程解為-k＜x＜ -

5

2

，不滿足整數解集為{-2}，故不成立．
當k≤

5

2

時：
原方程變形為

x＜-1  x＞2 - 5 2 ＜ x＜-k

，因為方程整數解集為{-2}，故-k＞-2，且k≤

5

2

．
故-

5

2

≤k＜2
故答案為-

5

2

≤k＜2．

點評：此題主要考查一元二次不等式組的解集的問題，題中應用到分類討論的思想，在解不等式中經常用到．題目涵蓋知識點少但有一點的計算量，屬于中檔題目．