Question

【題目】已知函數，其導函數為，函數，對任意，不等式恒成立.

（1）求實數的值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先得到，由不等式恒成立，構造函數分，，再利用導數論證即可.

（2）由（1）得，當時，，易得，將證，，轉化為證明，然后分，，令，利用導數結合證明即可.

（1），，

，，

（i），，在遞增，又，與題意不符，舍去.

（ii），；，在遞減，在遞增，

，

由已知得恒成立，

所以需，

所以需①

設，，，，

在遞增，在遞減，所以，即②

由①②得實數的值1.

綜上.

（2）由（1）得，當時，，即，，

欲證：，，即證：，

即證：.

①當時，，

②當時，令，則，；，

在遞減，在遞增，所以時，，

由已知，故，即當時，，所以時，，

綜上，時，恒成立，故，

成立.