Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函f（x）的一個上界．
已知函數f（x）=1+a(

1

2

)x+(

1

4

)x，g（x）=log

1

2

1-ax

x-1

．
（1）若函數g（x）為奇函數，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數g（x），在區間[

5

3

，3]上的所有上界構成的集合；
（3）若函數g（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義，建立方程，即可求實數a的值；
（2）求出函數g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區間[

5

3

，3]上的值域為[-2，-1]，結合新定義，即可求得結論；
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，換元，求出左邊的最大值，右邊的最小值，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數g（x）為奇函數，
∴g（-x）=-g（x），即log

1

2

1+ax

-x-1

=-log

1

2

1-ax

x-1

．，
即

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，得a=±1，而當a=1時不合題意，故a=-1．…（4分）
（2）由（1）得：g（x）=log

1

2

1+x

x-1

，
∵函數g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區間（1，+∞）上單調遞增，
∴函數g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區間[

5

3

，3]上單調遞增，
∴函數g（x）=log

1

2

1+x

x-1

在區間[

5

3

，3]上的值域為[-2，-1]，
∴|g（x）≤2，
故函數g（x）在區間[

5

3

，3]上的所有上界構成集合為[2，+∞）．…（8分）
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
∴-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立．  …（10分）
設t=2^x，t≥1，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
則h′（t）=-4+

1

t2

＜0，p′（t）=2+

1

t2

＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，…（12分）
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
∴實數a的取值范圍為[-5，1]．…（14分）

點評：本題考查了與函數性質有關的新定義問題，考查了換元法求函數的值域，綜合性強，涉及知識面廣，難度較大．