Question

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f(x)=1+a•(

1

2

)x+(

1

4

)x； g(x)=

1-m•x2

1+m•x2

（1）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（2）已知m＞-1，函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．可得-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，化為-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，因此[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min．設2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，先證明其單調性，即可得出其最值．
（2）g(x)=-1+

2

m•x2+1

，對m分類討論：m＞0，m=0，-1＜m＜0，利用二次函數和反比例函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）由題意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min．
設2^x=t，h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，設1≤t₁＜t₂，
h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0．
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
∴實數a的取值范圍為[-5，1]．
（2）g(x)=-1+

2

m•x2+1

，
若m＞0，x∈[0，1]，則g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0）即

1-m

1+m

≤g(x)≤1．
若-1＜m＜0，x∈[0，1]，則g（x）在[0，1]上遞增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1）即1≤g(x)≤

1-m

1+m

．
①當m＞0時，|

1-m

1+m

|＜1，|g（x）|＜1此時  T（m）≥1，
②當m=0，即，g（x）=1，|g（x）|=1此時  T（m）≥1，
③當-1＜m＜0時，|g(x)|＜

1-m

1+m

，此時 T(m)≥

1-m

1+m

．
綜上所述：當m≥0時，T（m）的取值范圍是[1，+∞）；
當-1＜m＜0時，T（m）的取值范圍是  [

1-m

1+m

，+∞)．

點評：本題綜合考查了恒成立問題的等價轉化、指數函數類型的函數的單調性、分類討論的思想方法等基礎知識與基本方法，屬于難題．