Question

如圖，已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F，G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點．設點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內的射影．

(1)求以E為頂點，以四邊形FGAE在平面DCC₁D₁內的射影為底面的棱錐的體積；

(2)求證：直線FG₁⊥平面FEE₁；

(3)求異面直線E₁G₁與EA所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：根據題意可知，所求體積即為四棱錐E－FG1DE1的體積．因為點E1，G1分別為棱CC1，DD1的中點，所以＝22－×2×1－2××1×1＝2．又因為點E到平面DCC1D1的距離為EE1＝1，故＝×2×1＝． 　　(2)證明：在正方形DCC1D1中，FG1＝FE1＝，G1E1＝2，FG12＋FE12＝G1E12，故FG1⊥FE1．又EE1⊥平面DCC1D1，FG1平面DCC1D1，所以EE1⊥FG1因為FE1∩EE1＝E1，所以FG1⊥平面FEE1． 　　(3)解：因為E1G1∥CD，AB∥CD，所以E1G1∥AB，所以∠EAB即為異面直線E1G1與EA所成的角．因為AB⊥平面BCC1B1，BE平面BCC1B1，所以AB⊥BE．在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝，AE＝，所以sin∠EAB＝＝＝．所以異面直線E1G1與EA所成角的正弦值為．