Question

（2012•瀘州模擬）函數f(x)=

1

2

x2+2ax與函數g（x）=3a²lnx+b．
（I）設曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在公共點處的切線相同，且f（x）在x=-2e（e是自然對數的底數）時取得極值，求a、b的值；
（II）若函數g（x）的圖象過點（1，0）且函數h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x在（0，4）上為單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，利用f（x）在x=-2e（e是自然對數的底數）時取得極值，可求得a=e，利用曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，建立方程組，可求b=-

e2

2

；
（II）先確定b，再利用h（x）在（0，4）上為單調函數，得出導函數小于等于0或大于大于0，利用分離參數法，即可求得結論．

解答：解：（I）求導函數可得f′(x)=x+2a，g′(x)=

3a2

x

∵f（x）在x=-2e（e是自然對數的底數）時取得極值
∴f′（-2e）=0
∴a=e
∴f′(x)=x+2e，g′(x)=

3e2

x

∵曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，
∴

1 2 x 2 0 +2ex0=3e2lnx0+b x0+2e= 3e2 x0

∴x₀=e或x₀=-3e（舍去），b=-

e2

2

∴a=e，b=-

e2

2

；
（II）∵函數g（x）的圖象過點（1，0），∴b=0
∵h（x）=f（x）+g（x）-（2a+6）x=

1

2

x2+3a2lnx-6x
∴h′（x）=x+

3a2

x

-6
∵h（x）在（0，4）上為單調函數，
∴h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0或h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立
當h′（x）=x+

3a2

x

-6≤0在（0，4）上恒成立時，3a²≤-x²+6x在（0，4）上恒成立，∴a=0
當h′（x）=x+

3a2

x

-6≥0在（0，4）上恒成立時，3a²≥-x²+6x在（0，4）上恒成立
∵y=-x²+6x在（0，4）上的最大值為9
∴a≥

3

或a≤-

3

∴a的取值范圍為(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)∪{0}

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．