Question

已知函數f(x)是(-∞,+∞)上的增函數，a、b∈R，對題“若a+b≥0，則f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結論；

(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結論.

Answer 1

解析：(1)逆命題是：若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)，則a+b≥0，真命題.

用反證法證明：假設a+b＜0，則a＜-b,b＜-a.

∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函數，則f(a)＜f(-b)f(b)＜f(-a)，∴f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，這與題相矛盾，

∴逆命題為真.

(2)逆否命題：若f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，則a+b＜0，真命題.

∵一個命題它的逆否命題，∴轉化為證明原命題為真命題

∵a+b≥0，∴a≥-b,b≥-a.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上為增函數，

∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).

∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).原命題真.

∴逆否命題為真.

溫馨提示

若證明一個命題的真假性較困難時，常轉化為證明其逆否命題的真假性.