Question

對(duì)數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中。 對(duì)

自然數(shù)，規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列，其中。

（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？

（2）若數(shù)列首項(xiàng)，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（3）（理）對(duì)（2）中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切自然都成立？若存在，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）（3）存在

解析:

（1），∴是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列。，∴是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列。（2），即，即，∴ ，∵，∴，，，猜想：，

證明：ⅰ）當(dāng)時(shí)，；ⅱ）假設(shè)時(shí)，；時(shí)，

 結(jié)論也成立， ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，。

（3），即 ，

 ∵，

 ∴存在等差數(shù)列，，使得對(duì)一切自然都成立。