Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC ="∠BAD" =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，且EF∥BC。設AE =，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）．

（1）當=2時，求證：BD⊥EG ；
（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；
（3）當取得最大值時，求二面角D-BF-E的余弦值．

Answer 1

（1）建立空間坐標系E-xyz, B（2，0，0）D（0，2，2）E（0，0，0）G（2，2，0）,
（－2，2，2）（2，2，0）＝0∴（2）（3）

解析試題分析：（1）方法一：
∵平面平面，
AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，
又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標系E-xyz．
 
，又為BC的中點，BC=4，
．則A（0，0，2），B（2，0，0），
G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），
（－2，2，2），（2，2，0），
（－2，2，2）（2，2，0）＝0，
∴．……4分
方法二：
作DH⊥EF于H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH．
為平行四邊形，且，四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，
故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分
（或者直接利用三垂線定理得出結果）
（2）∵AD∥面BFC，所以 =V_A-BFC＝
，即時有最大值為． ………8分
（3）設平面DBF的法向量為，∵AE=2， B（2，0，0），
D（0，2，2），F（0，3，0），∴………9分
（－2，2，2），
則 ，即，
取，∴
，面BCF一個法向量為，
則cos<>=，………14分
考點：兩線垂直的判定及求解二面角大小
點評：本題用向量方法求解比較簡單