Question

已知函數f（x）=x²-ax+b
（Ⅰ）【理科】若b=4時，f（x）≥0對x∈（0，4）恒成立，求a的范圍；
【文科】若b=4時，f（x）≥0對x∈R恒成立，求a的范圍；
（Ⅱ）若f（-1）≥0，f（0）≤0，f（2）≥0，求f（3）的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）理科：把b=4代入f（x），由題意，f（x）≥0對x∈（0，4）恒成立，可以利用分離常數法進行求解；
文科：文科f（x）≥0對x∈R恒成立，函數開口向上，要是函數f（x）恒大于0，只要△≤0即可；
（Ⅱ）第二問就是一個線性規劃問題，找出可行域和目標函數，畫出草圖即可求解；

解答：解：（Ⅰ）理科：∵若b=4時，f（x）≥0對x∈（0，4）恒成立，
∴f（x）=x²-ax+4≥0，∴a≤

x2+4

x

=x+

4

x

，求出x+

4

x

的最小值即可，
∵x+

4

x

≥2

4

=4（當x=2時等號成立）；
∴a≤4；
文科：∵若b=4時，f（x）≥0對x∈R恒成立，也即x²-ax+4≥0對x∈R恒成立，
∴△≤0即可，也即a²-4×4≤0，∴-4≤a≤4；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-ax+b，f（-1）≥0，f（0）≤0，f（2）≥0，
可得

1+a+b≥0 b≤0 4-2a+b≥0

，目標函數z=f（3）=9-3a+b，
畫出可行域：可以令a=x，b=y，如下圖


如圖在點A（2，0）處z取得最小值，在點B（-1，0）處取最大值，
∴z_min=9-6=3，z_max=9+3=12，
∴3≤f（3）≤12；

點評：第一問比較簡單，用到了常數分離法，使問題簡單化，第二問要看出來這是一個線性規劃問題，就比較容易求解了；