Question

某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出場單價就降低0.02元，根據市場調查，銷售商一次訂購量不會超過600件．
（1）設一次訂購x件，服裝的實際出廠單價為p元，寫出函數p=f（x）的表達式；
（2）當銷售商一次訂購多少件服裝時，該廠獲得的利潤最大？其最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）根據題意，函數為分段函數，當0＜x≤100時，p=60；當100＜x≤600時，p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
（2）設利潤為y元，則當0＜x≤100時，y=60x-40x=20x；當100＜x≤600時，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x²，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結論．

解答：解：（1）當0＜x≤100時，p=60；
當100＜x≤600時，
p=60-（x-100）×0.02=62-0.02x．
∴p=

60，0＜x≤100 62-0.02x，100＜x≤600

（2）設利潤為y元，則
當0＜x≤100時，y=60x-40x=20x；
當100＜x≤600時，y=（62-0.02x）x-40x=22x-0.02x²．
∴y=

20x，0＜x≤100 22-0.02x2，100＜x≤600

當0＜x≤100時，y=20x是單調增函數，當x=100時，y最大，此時y=20×100=2 000；
當100＜x≤600時，y=22x-0.02x²=-0.02（x-550）²+6 050，
∴當x=550時，y最大，此時y=6 050．
顯然6050＞2000．
所以當一次訂購550件時，利潤最大，最大利潤為6050元．

點評：本題考查分段函數，考查函數的最值，解題的關鍵是正確寫出分段函數的解析式，屬于中檔題．