Question

某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元．根據市場調查，銷售商一次訂購量不會超過500件．
（1）設一次訂購量為x件，服裝的實際出廠單價為P元，寫出函數P=f（x）的表達式；
（2）當銷售商一次訂購了450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？
（服裝廠售出一件服裝的利潤=實際出廠單價-成本）
（3）求當銷售商一次訂購多少件服裝時，該服裝廠獲得的利潤最大？

Answer 1

分析：（1）當0＜x≤100，x∈N時，P=60．當100＜x≤500，x∈N時，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

即可得出；
（2）設銷售商的一次訂購量為x件時，工廠獲得的利潤為L元，根據服裝廠售出一件服裝的利潤=實際出廠單價-成本可得：L=(P-40)x=

20x 22x- x2 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N），把x=450代入即可得出．
（3）利用（2）的解析式，分類討論：當0＜x≤100，x∈N時，利用一次函數的單調性可得此時的最大值；當100＜x≤500，x∈N時，利用二次函數的單調性即可得出其最大值．

解答：解：（1）當0＜x≤100，x∈N時，P=60．
當100＜x≤500，x∈N時，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

∴P=f(x)=

60 62- x 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N）．
（2）設銷售商的一次訂購量為x件時，工廠獲得的利潤為L元，
則L=(P-40)x=

20x 22x- x2 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N）
當x=450時，L=5850
因此，當銷售商一次訂購了450件服裝時，該廠獲得的利潤是5850元；
（3）L=(P-40)x=

20x 22x- x2 50

0＜x≤100 100＜x≤500

（x∈N）
當0＜x≤100，x∈N時，L_max=20×100=2000元，
當100＜x≤500，x∈N時L=-

x2

50

+22x=-

1

50

(x-550)2+6050
當x=500時，L_mzx=6000元
綜上，當x=500時，L_mzx=6000元．

點評：本題考查了分段函數的解析式的求法、一次函數與二次函數的單調性的應用、服裝的利潤與實際出廠單價及成本的關系等基礎知識與基本方法，屬于難題．