Question

27、對于函數f（x），若f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的“不動點”；若f[f（x₀）]=x₀，則稱x₀為f（x）的“穩定點”．函數f（x）的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．
（1）設函數f（x）=3x+4求集合A和B；
（2）求證：A⊆B；
（3）設函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=3x+4，要求集合A和B，解出兩個方程f（x）=x與f[f（x）]=x的根，此兩方程的解集即為集合A和B；
（2）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據所給“不動點”和“穩定點”的定義來證明；
（3）A=∅，說明f（x）=x無解，由“不動點”和“穩定點”的定義證明f[f（x）]=x無解即可得出B=∅．

解答：解：（1）令f（x）=3x+4=x，
解得x=-2，故有A={-2}
由于f[f（x）]=3（3x+4）+4=9x+16，
令9x+16=x，得x=-2，故有B={-2}
（2）若A=∅，則A⊆B顯然成立；若A≠∅，
設t∈A，
則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．
（3）若B≠∅．
則f[f（x）]=x有解，
即f（x）=x有解，
這與A=∅矛盾，
故B=∅．

點評：本題考查對新概念的理解和運用的能力，同時考查了集合間的關系和方程根的相關知識，解題過程中體現了分類討論的數學思想