Question

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“科比函數”．若函數f（x）=k+

x+2

是“科比函數”，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據題意可得到：

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

，即方程k+

x+2

=x有兩個不相等的實數根，分別畫出左右兩邊函數：y=

x+2

和y=x-k的圖象，結合圖象法可得答案．

解答：解：∵函數f（x）=k+

x+2

是“科比函數”，且是增函數，
∴

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

此式表明：方程k+

x+2

=x有兩個不相等的實數根，
即方程

x+2

=x-k有兩個不相等的實數根，
分別畫出左右兩邊函數：y=

x+2

和y=x-k的圖象，
當直線y=x-k與曲線y=

x+2

相切時，

x+2

=x-k有唯一解，解得k=-

9

4

；
當直線y=x-k與曲線上的點（2，0）時，
解得k=-2；
結合圖象可得：當兩個函數的圖象有兩個不同的交點時，
實數k的取值范圍是（-

9

4

，-2]．
故答案為：（-

9

4

，-2]．

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，本題的關鍵是將原問題轉化為方程的解，進而轉化為函數圖象的交點問題，利用數形結合的思想方法加以解決．