Question

給出下列命題：①已知

a

⊥

b

，則

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

b

•

c

；②A，B，M，N為空間四點，若

BA

，

BM

，

BN

不構成空間的一個基底，那么A，B，M，N共面；③已知

a

⊥

b

，則

a

，

b

與任何向量都不構成空間的一個基底；④若

a

，

b

共線，則

a

，

b

所在直線或者平行或者重合．正確的結論為

①②④

．

Answer 1

分析：對于①，由條件可得

a

•

b

=0，把等式的左邊展開化簡可得它和燈飾的右邊相等，故①正確．
對于②，由條件可得

BA

，

BM

，

BN

這3個向量共面，故A、B、M、N共面，故②正確．
對于③，若

c

與

a

，

b

這3個向量不共面，則 {

a

，

b

 ，  

c

} 構成空間的一個基底，故③不正確．
對于④，直接根據課本定義可得其成立．

解答：解：①若

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，故

a

•(

b

+

c

)+

c•

(

b

-

a

)=

a

•

b

+

a

•

c

+

c

•

b

-

c

•

a

=0+

c

•

b

=

b

•

c

，
故①正確．
②若

BA

，

BM

，

BN

不構成空間的一個基底，則

BA

，

BM

，

BN

這3個向量共面，故A、B、M、N共面，
故②正確．
③當

a

⊥

b

時，若

c

與

a

，

b

這3個向量不共面，則 {

a

，

b

 ，  

c

} 構成空間的一個基底，故③不正確．
④直接根據向量共線的定義可得其成立，故④正確．
綜上，①②④正確，③不正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查空間向量基本定理及其意義，三個向量能構成空間的基底的條件是，這三個向量不共面．