Question

拋物線y²＝2px的準線方程為x＝－2，該拋物線上的每個點到準線x＝－2的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l₁：y＝x和l₂：y＝－x相切的圓，
(1)求定點N的坐標；
(2)是否存在一條直線l同時滿足下列條件：
①l分別與直線l₁和l₂交于A、B兩點，且AB中點為E(4，1)；
②l被圓N截得的弦長為2.

Answer 1

（1）(2，0)（2）不存在滿足條件的直線l.

(1)因為拋物線y²＝2px的準線方程為x＝－2.所以p＝4，根據拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，所以定點N的坐標為(2，0)．
(2)假設存在直線l滿足兩個條件，顯然l斜率存在，設l的方程為y－1＝k(x－4)，k≠±1.以N為圓心，同時與直線l₁：y＝x和l₂：y＝－x相切的圓N的半徑為.因為l被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1,即d＝＝1，解得k＝0或，當k＝0時，顯然不合AB中點為E(4，1)的條件，矛盾，當k＝時，l的方程為4x－3y－13＝0.由，解得點A的坐標為(13，13)；由，解得點B的坐標為.顯然AB中點不是E(4，1)，矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.