Question

已知命題p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線；命題q：過點M（2，1）的直線與橢圓

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共點，若p與q中有且僅有一個為真命題，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：由命題p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線，知（k-4）（k-6）＜0；由命題q：過點M（2，1）的直線與橢圓

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共點，知M在橢圓內．再由p與q中有且僅有一個為真命題，知p真q假，或p假q真．分別
討論，能求出k的取值范圍．

解答：解：∵命題p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線，
∴（k-4）（k-6）＜0，解得4＜k＜6
∵命題q：過點M（2，1）的直線與橢圓

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共點，
∴M在橢圓內，即

22

5

+

12

k

＜1，且k＞0，解得k＞5
∵p與q中有且僅有一個為真命題，
∴p真q假，或p假q真
當p真q假時，

4＜k＜6 k≤5

，解得4＜k≤5；
當p假q真時，

k≤4或k≥6 k＞5

，解得k≥6．
綜上取并集，得k的取值范圍{k|4＜k≤5或k≥6}．

點評：本題考查參數的取值范圍的求法，解題時要涉及到雙曲線、橢圓、命題等基本知識點，要注意等價轉化思想的合理運用．