Question

【題目】直角坐標系xOy平面內，已知動點M到點D（﹣4，0）與E（﹣1，0）的距離之比為2．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）是否存在經過點（﹣1，1）的直線l，它與曲線C相交于A，B兩個不同點，且滿足 （O為坐標原點）關系的點M也在曲線C上，如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），則 ， ，

依題意， ，

化簡整理，得x2+y2=4，

∴曲線c的方程為x2+y2=4．

（2）解：假設直線l存在，設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）

①若直線l的斜率存在，設直線l的方程為：y﹣1=k（x+1）．

聯立 消去y得，（1+k2）x2+2k（k+1）x+k2+2k﹣3=0，

由韋達定理得， = ， = ， = ．

∵點A（x1，y1），B（x2，y2）在圓c上，

∴ ， ．

由 得， ， ．

由于點M也在圓c上，則 ，

整理得， + ，

即x1x2+y1y2=0，所以 + ，

從而得，k2﹣2k+1=0，即k=1，因此，直線l的方程為y﹣1=x+1，即x﹣y+2=0；

②若直線l的斜率不存在，則A（﹣1， ），B（﹣1，- ）， ，故此時點M不在曲線c上，

綜上所知：k=1，直線方程為x﹣y+2=0．

【解析】（1）設出M點的坐標，由題目條件即可得出動點M的軌跡C的方程；（2）討論直線l的斜率是否存在，由韋達定理，根據題目條件進行計算即可．