Question

設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，左，右頂點分別為A₁，A₂．過F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線l與另一條漸近線相交于P，若P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  3

• D、3

Answer 1

分析：由題意可得：設直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，則P（

c

2

，-

bc

2a

），因為P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，所以

PA1

•

PA2

=0，再結合b²=c²-a²可得答案．

解答：解：由題意可得：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為：y=±

b

a

x，
所以設直線l的方程為：y=

b

a

(x-c)，則直線l與雙曲線的另一條漸近線的交點為：P（

c

2

，-

bc

2a

），
所以

PA1

=(-a-

c

2

，

bc

2a

)，

PA2

=(a-

c

2

，

bc

2a

)．
因為P恰好在以A₁A₂為直徑的圓上，
所以

PA1

•

PA2

=0，即(-a-

c

2

，

bc

2a

) •(a-

c

2

，

bc

2a

)=0，
所以整理可得：b²c²=4a⁴-a²c²
所以結合b²=c²-a²可得：2a²=c²，所以e=

c

a

=

2

．
故選A．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握雙曲線的標準方程與有關數值之間的關系，以及雙曲線的有關性質．