Question

（2012•閔行區一模）設雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），R₁，R₂是它實軸的兩個端點，l是其虛軸的一個端點．已知其一條漸近線的一個方向向量是（1，

3

），△lR₁R₂的面積是

3

，O為坐標原點，直線y=kx+m（k，m∈R）與雙曲線C相交于A、B兩點，且

OA

⊥

OB

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求點P（k，m）的軌跡方程，并指明是何種曲線．

Answer 1

分析：（1）根據漸近線的一個方向向量是（1，

3

），可得雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，從而有b=

3

a，c=2a，利用△lR₁R₂的面積是

3

，即可求得雙曲線C的方程；
（2）直線AB：y=kx+m與雙曲線x2-

y2

3

=1聯立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0，利用韋達定理及

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得點P的軌跡方程．

解答：解：（1）由題意，漸近線的一個方向向量是（1，

3

），∴雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，則有b=

3

a，c=2a
又△lR₁R₂的面積是

3

，故

1

2

×2a×b=

3

，得a=1，b=

3

，c=2（3分）
所以雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1．（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=kx+m與雙曲線x2-

y2

3

=1聯立消去y得（3-k²）x²-2kmx-m²-3=0
由題意3-k²≠0，且

△＞0 x1+x2= 2km 3-k2 x1x2= -m2-3 3-k2

 （4分）
又由

OA

⊥

OB

知x₁x₂+y₁y₂=0
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
所以

m2+3

k2-3

+k²×

m2+3

k2-3

+km×

2km

3-k2

+m²=0
化簡得2m²-3k²=3①
由△＞0可得k²＜m²+3②
由①②可得2m²-3k²=3                  （6分）
故點P的軌跡方程是2y²-3x²=3（x≠±

3

），其軌跡是雙曲線       （8分）

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是直線與雙曲線方程聯立，利用韋達定理進行求解．