Question

（2012•即墨市模擬）設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，右焦點(diǎn)為F（c，0），方程ax²+bx-c=0的兩個(gè)實(shí)根分別為x₁和x₂，則點(diǎn)P（x₁，x₂）（　　）

A．必在圓x²+y²=2內(nèi)

B．必在圓x²+y²=2上

C．必在圓x²+y²=2外

D．以上三種情形都有可能

Answer 1

分析：由題意可求得c=

1

2

a，b=

3

2

a，從而可求得x₁和x₂，利用韋達(dá)定理可求得x12+x22的值，從而可判斷點(diǎn)P與圓x²+y²=2的關(guān)系．

解答：解：∵橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，
∴c=

1

2

a，b=

a2-c2

=

3

2

a，
∴ax²+bx-c=ax²+

3

2

ax-

1

2

a=0，
∵a≠0，
∴x²+

3

2

x-

1

2

=0，又該方程兩個(gè)實(shí)根分別為x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=-

1

2

，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x₁x₂=

3

4

+1＜2．
∴點(diǎn)P在圓x²+y²=2的內(nèi)部．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，求得c，b與a的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．