Question

已知函數f(x)＝xlnx．

⑴討論函數f(x)的單調性；

⑵對于任意正實數x，不等式f(x)＞kx－恒成立，求實數k的取值范圍；

⑶是否存在最小的正常數m，使得：當a＞m時，對于任意正實數x，不等式f(a＋x)＜f(a)·e^x恒成立？給出你的結論，并說明結論的合理性．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)令，得x．

　　當x∈(0，)時，；當x∈()時，．

　　所以函數f(x)在上單調遞減，在上單調遞增．(3分)

　　(2)由于x＞0，所以．

　　構造函數，則令，得．

　　當時，；當時，．

　　所以函數在點處取得最小值，即．

　　因此所求的k的取值范圍是．(7分)

　　(3)結論：這樣的最小正常數存在．　解釋如下：

　　．

　　構造函數，則問題就是要求恒成立．(9分)

　　對于求導得．

　　令，則，顯然是減函數．

　　又，所以函數在上是增函數，在上是減函數，而，

　　，

　　．

　　所以函數在區間和上各有一個零點，令為和，并且有：在區間和上，即；在區間上，即．從而可知函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增．，當時，；當時，．還有是函數的極大值，也是最大值．

　　題目要找的，理由是：

　　當時，對于任意非零正數，，而在上單調遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明；

　　當時，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說明不能比小．

　　綜合可知，題目所要尋求的最小正常數就是，即存在最小正常數，當時，對于任意正實數，不等式恒成立．(12分)

　　(注意：對于和的存在性也可以如下處理：

　　令，即．作出基本函數和的圖像，借助于它們的圖像有兩個交點很容易知道方程有兩個正實數根和，且，(實際上)，可知函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增．，當時，；當時，．還有是函數的極大值，也是最大值．)