Question

如圖，拋物線C₁：y²=8x與雙曲線C2：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)有公共焦點F₂，點A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）以F₁為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）²+y²=1．平面上有點P滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁，l₂，它們分別與圓M，N相交，且直線l₁被圓M截得的弦長與直線l₂被圓N截得的弦長的比為

3

：1，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），設A（x₀，y₀）在拋物線C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，由拋物線的定義得，x₀+2=5，x₀=3，y0=±2

6

，|AF1|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，由此可知雙曲線的方程．
（Ⅱ）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，雙曲線的漸近線方程為：y=±

3

x，故圓M：（x+2）²+y²=3．由此入手可推導出所有滿足條件的點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線C₁：y²=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），（1分）
設A（x₀，y₀）在拋物線C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線的定義得，x₀+2=5，∴x₀=3，（2分）
∴y₀²=8×3，∴y0=±2

6

，（3分）
∴|AF1|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，（4分）
又∵點A在雙曲線上，
由雙曲線定義得，2a=|7-5|=2，∴a=1，（5分）
∴雙曲線的方程為：x2-

y2

3

=1．（6分）
（Ⅱ）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，
雙曲線的漸近線方程為：y=±

3

x，
∵圓M與漸近線y=±

3

x相切，∴
圓M的半徑為d=

2 3

2

=

3

，（7分）
故圓M：（x+2）²+y²=3，（8分）
設點P（x₀，y₀），則l₁的方程為y-y₀=k（x-x₀），
即kx-y-kx₀+y₀=0，l₂的方程為y-y0=-

1

k

(x-x0)，
即x+ky-x₀-ky₀=0，
∴點M到直線l₁的距離為d1=

|2k+kx0-y0|

1+k2

，
點N到直線l₂的距離為d2=

|x0+ky0-2|

1+k2

，
∴直線l₁被圓M截得的弦長s=2

3-( 2k+kx0-y0 1+k2 )2

，
直線l₂被圓N截得的弦長t=2

1-( x0+ky0-2 1+k2 )2

，（11分）
由題意可得，

s

t

=

3- (2k+kx0-y0)2 1+k2

1- (x0+ky0-2)2 1+k2

=

3

，
即3（x₀+ky₀-2）²=（2k+kx₀-y₀）²，
∴

3

x0+

3k

y0-2

3

=2k+kx0-y0①
或

3

x0+

3k

y0-2

3

=-2k-kx0+y0②（12分）
由①得：(x0-

3

y0+2)k-(

3

x0+y0-2

3

)=0，
∵該方程有無窮多組解，
∴

x0- 3 y0+2=0 3 x0+y0-2 3 =0

，解得

x0=1 y0= 3

，
點P的坐標為(1，

3

)．（13分）
由②得：(x0+

3

y0+2)k+(

3

x0-y0-2

3

)=0，
∵該方程有無窮多組解，
∴

x0+ 3 y0+2=0 3 x0-y0-2 3 =0

，解得

x0=1 y0=- 3

，
點P的坐標為(1，-

3

)．
∴滿足條件的點P的坐標為(1，

3

)或(1，-

3

)．（14分）

點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．