Question

如圖，拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C₂：的離心率，C₁與C₂在第一象限的交點為，
(Ⅰ)求拋物線C₁及橢圓C₂的方程；
(Ⅱ)已知直線l：y=kx+t(k≠0，t＞0)與橢圓C₂交于不同兩點A，B，點M滿足，直線FM的斜率為k₁，試證明。

Answer 1

解：(Ⅰ)將代入x²=2py，得p=3，
∴拋物線C₁的方程為，焦點，
把代入，得，
又∵，
∴，
解得：a=2，b=1，
故橢圓C₂的方程為。
(Ⅱ)由，得，
令，
得，   ①
設，
∴，
∵，
∴，即點M為線段AB的中點，
設，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
又∵t＞0，
∴，即。