Question

已知△ABC的面積為1，tanB=

1

2

，tanC=-2，求△ABC的邊長及tanA．

Answer 1

分析：由三角形的內角和定理得到A=π-（B+C），利用誘導公式化簡tanA后，將tanB和tanC的值代入求出tanA的值，由tanB的值大于0，得到B為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB和cosB的值，同理由tanC的值小于0，得到C為鈍角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC和cosC的值，由A=π-（B+C），利用誘導公式化簡sinA后，將各自的值代入求出sinA的值，再由sinB的值，利用正弦定理用b表示出a，由a，b，已知的面積，及sinC的值，利用三角形的面積公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，進而確定出b的值，再利用正弦定理即可求出c的值．

解答：解：∵tanB=

1

2

，tanC=-2，且A+B+C=π，
∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-

1 2 -2

1+1

=

3

4

，
∵tanB=

1

2

＞0，
∴0＜B＜

π

2

，
∴cosB=

1 tan2B+1

=

2 5

5

，sinB=

1-cos2B

=

5

5

，
又tanC=-2＜0，∴

π

2

＜C＜π，
∴cosC=-

1 tan2C+1

=-

5

5

，sinC=-

1-cos2C

=-

2 5

5

，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

5

5

×（-

5

5

）+

2 5

5

×

2 5

5

=

3

5

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：a=

bsinA

sinB

=

3

5

b，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

3

5

b²•

2 5

5

=1，
解得：b=

15

3

，
∴a=

3

5

×

15

3

=

3

，
∴c=

asinC

sinA

=

2 15

3

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦定理，同角三角函數間的基本關系，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．