Question

（2013•順義區二模）設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＜0．則函數y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為

6

．

Answer 1

分析：根據x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＜0，確定函數的單調性，再利用函數的圖形，即可得到結論．

解答：解：∵x∈（0，π） 且x≠

π

2

時，（x-

π

2

）f′（x）＜0
∴x∈（0，

π

2

），函數單調增，x∈（

π

2

，π），函數單調減．
∵x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1，
在R上的函數f（x）是最小正周期為2π的偶函數，在同一坐標系中作出y=cosx和y=f（x）草圖如下，

由圖知y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數為6個．
故答案為：6．

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的零點，考查函數的周期性與奇偶性，屬于基礎題．