Question

根據市場調查，某種新產品投放市場的30天內，每件銷售價格P（元）與時間t（天）的關系如圖所示，日銷售量Q（件）與時間t（天）之間的關系如表所示．

t/天	5	15	20	30
Q/件	35	25	20	10

（1）根據圖象，寫出該產品每件銷售價格P與時間t的函數解析式；
（2）在所給的直角坐標系中，根據表中提供的數據描出實數對（t，Q）的對應點，并確定日銷售量Q與時間t的一個函數解析式；
（3）在這30天內，哪一天的日銷售金額最大？（日銷售金額=每件產品銷售價格×日銷售量）

Answer 1

分析：（1）根據圖象，每件銷售價格P與時間t的函數關系為分段函數；
（2）設它們所在直線l的解析式，代入計算，可得結論；
（3）利用日銷售金額=每件產品銷售價格×日銷售量，確定分段函數，分段求出函數的最值，即可求得結論．

解答：解：（1）根據圖象，每件銷售價格P與時間t的函數關系為：
P=

t+30，0＜t≤20，t∈N+ 50，20＜t≤30，t∈N+

；┅┅┅（2分）
（2）描出實數對（t，Q）對應點，如圖所示．
從圖象發現：點（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）
可能在同一直線上．設它們所在直線l的解析式為Q=kt+b（k、b為常數），
將點（5，35），（30，10）代入方程得

35=5k+b 10=30k+b

解得k=-1，b=40，所以Q=-t+40，
檢驗點（15，25），（20，20）也適合該式，因此日銷售量Q與時間t的一個解析式為
Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N₊）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）
（3）設日銷售金額為y（元），則y=

(t+30)(-t+40)，0＜t≤20，t∈N+ 50(-t+40)，  20＜t≤30，t∈N+

=

-t2+10t+1200，0＜t≤20，t∈N+ -50t+2000，  20＜t≤30，t∈N+

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）
若0＜t≤20，t∈N₊，y=-t²+10t+1200=-（t-5）²+1225，
所以當t=5時，y_max=1225；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（11分）
若20＜t≤30，t∈N₊，y=-50t+2000是減函數，所以y＜-50×20+2000=1000．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（13分）
因此，這種產品在第5天的日銷售金額最大，最大日銷售金額是1225元．┅（14分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．