Question

某公司用480萬元購得某種產品的生產技術后，再次投入資金1520萬元購買生產設備，進行該產品的生產加工．已知生產這種產品每件還需成本費40元，經過市場調研發現：該產品的銷售單價定在100元到300元之間較為合理．當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件；當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格在200元的基礎上，每增加10元，年銷售量將再減少1萬件．設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為w（萬元）．
（1）直接寫出y與x之間的函數關系式；
（2）求第一年的年獲利w與x之間的函數關系式，并說明投資的第一年，該公司是贏利還是虧損？若贏利，最大利潤是多少？若虧損，最少虧損是多少？（

1952

25

=1521）

Answer 1

分析：（1）根據當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件，可知100≤x≤200時的年銷售量；銷售價格在200元時，年銷售量為12萬件，根據當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格在200元的基礎上，每增加10元，年銷售量將再減少1萬件，可知200≤x≤300時的年銷售量；
（2）年獲利為年銷售量乘以銷售單價，再減去投資設備錢，減去成本錢，從而可求年獲利w與x之間的函數關系式，進而可求公司利潤．

解答：解：（1）根據當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；當銷售單價超過100元，但不超過200元時，每件產品的銷售價格每增加10元，年銷售量將減少0.8萬件，可知100≤x≤200時，年銷售量為y=20-

x-100

10

×0.8=-

2

25

x+28；
銷售價格在200元時，年銷售量為12萬件，根據當銷售單價超過200元，但不超過300元時，每件產品的銷售價格在200元的基礎上，每增加10元，年銷售量將再減少1萬件，可知200≤x≤300時，年銷售量為y=12-

x-200

10

×1=-

1

10

x+32．
∴y=

- 2 25 x+28(100≤x≤ 200) - 1 10 x+32(200＜x≤300)

．
（2）當100≤x≤200時，w=xy-40y-（480+1520）
將y=-

2

25

x+28代入上式得：w=x（-

2

25

x+28）-40（-

2

25

x+28）-2000=-

2

25

（x-195）²-78，
當200＜x≤300時，同理可得：w=-

1

10

（x-180）²-40，
故w=

- 2 25 (x-195)2-78(100＜x≤200) - 1 10 (x-180)2-40(200＜x≤300)

；
若100≤x≤200，當x=195時，w_max=-78，
若200＜x≤300，w_max=-80．
故投資的第一年公司是虧損的，最少虧損為78萬元．

點評：本題主要考查二次函數在實際中應用，最大銷售利潤的問題常利函數的增減性來解答，我們首先要弄懂題意，確定變量，建立函數模型解答，其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值．