Question

在四邊形ABCD中，AB=2，BC=CD=4，AD=6，∠A+∠C=π．
（Ⅰ）求AC的長；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，連接AC，
依題意可知：∠B+∠D=π，即∠D=π-∠B，
又AB=2，BC=CD=4，AD=6，
在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+4²-2×2×4cosB=20-16cosB，
在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD=6²+4²-2×6×4cosD=52-48cosD=52+48cosB，
由20-16cosB=52+48cosB，解得：cosB=-，
從而AC²=20-16cosB=28，即AC=2；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinB=sinD=，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=AB•BCsinB+AD•CDsinD=2+6=8．…（12分）
分析：（Ⅰ）根據題意畫出圖形，連接AC，由四邊形的內角和為2π，根據∠A+∠C=π，得出∠B+∠D=π，用∠B表示出∠D，在三角形ABC中，利用余弦定理得到AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB，將AB，BC的值代入表示出AC²，在三角形ADC中，由余弦定理得到AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cosD，將AD，DC的值，以及表示出的∠D代入，利用誘導公式化簡，根據AC相等，列出關系式，求出cosB的值，代入即可求出AC的值；
（Ⅱ）由∠D=π-∠B，得到sinB=sinD，利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積及三角形ADC的面積，根據四邊形ABCD的面積=三角形ABC的面積+三角形ADC的面積，即可求出四邊形ABCD的面積．
點評：此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，誘導公式，以及四邊形的內角和定理，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．