Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經過點，兩個焦點分別為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線與橢圓相交于兩點，若的內切圓半徑為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，反映在代數上，就是直線與橢圓方程聯立的方程組有無實數解及實數解的個數的問題，它體現了方程思想的應用，當直線與橢圓相交時，要注意判別式大于零這一隱含條件，它可以用來檢驗所求參數的值是否有意義，也可通過該不等式來求參數的范圍．對直線與橢圓的位置關系的考查往往結合平面向量進行求解，與向量相結合的題目，大都與共線、垂直和夾角有關，若能轉化為向量的坐標運算往往更容易實現解題功能，所以在復習過程中要格外重視．

試題解析：（Ⅰ）由，所以，

將點的坐標代入橢圓方程得，

故所求橢圓方程為；

（Ⅱ）設直線的方程為,代入橢圓方程得，顯然判別式大于0恒成立，設，的內切圓半徑為，則有

，，

所以

而

所以解得,

因為所求圓與直線相切，所以半徑=，

所以所求圓的方程為.