Question

已知冪函數f（x）=（m²-5m+7）x^-m-1（m∈R）為偶函數．
（1）求f(

1

2

)的值；
（2）若f（2a+1）=f（a），求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）根據冪函數的系數一定為1可先確定參數m的值，再根據奇偶性進行驗證，可得答案．
（2）由（1）知f（x）=x^-4，利用函數的單調性及f（2a+1）=f（a）可得|2a+1|=|a|，從而求出a的值．

解答：解：（1）由m²-5m+7=1得m=2或3，…2
當m=2時，f（x）=x^-3是奇函數，∴不滿足．
當m=3時，∴f（x）=x^-4，滿足題意，…4
∴函數f（x）的解析式f（x）=x^-4，所以f(

1

2

)=(

1

2

)-4=16．…6
（2）由f（x）=x^-4和f（2a+1）=f（a）可得|2a+1|=|a|，…8
即2a+1=a或2a+1=-a，∴a=-1或a=-

1

3

．…12

點評：本題主要考查冪函數的表達形式以及冪函數的奇偶性，屬于基礎題．