Question

對于任意定義在R上的函數f（x ），若實數x₀滿足f（x ₀）=x ₀，則稱x₀是函數f（x ）的一個不動點，若函數f（x ）=ax²+（2a-3）x+1恰有一個不動點，則實數a的取值集合是

{0，1，4}

．

Answer 1

分析：不動點實際上就是方程f（x₀）=x₀的實數根．二次函數f（x ）=ax²+（2a-3）x+1恰有一個不動點，是指方程x=ax²+（2a-3）x+1恰有兩個相等的實根，即方程ax²+（2a-4）x+1=0恰有兩個相等的實根，可以根據根的判別式△=0解答即可．

解答：解：根據題意，得
x=ax²+（2a-3）x+1恰有兩個相等的實根，
即方程ax²+（2a-4）x+1=0恰有兩個相等的實根，
∴當a≠0時
△=（2a-4）²-4a=0，
解之得：a=1或a=4；
當a=0時，顯然也符合題
綜上所述，實數a的取值集合是{0，1，4}
故答案為：{0，1，4}

點評：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征、函數與方程的綜合運用，解答該題時，借用了一元二次方程的根的判別式與根這一知識點．