Question

定義域為R，且對任意實數x₁，x₂都滿足不等式f（）≤的所有函數f（x）組成的集合記為M，例如，函數f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函數f（x）=，證明：f（x）∈M；
（2）寫出一個函數f（x），使得f（x）∉M，并說明理由；
（3）寫出一個函數f（x）∈M，使得數列極限=1，=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論，驗證f（）≤成立，即可得到結論；
（2）利用條件，構造函數f（x）=-x²，f（x）∉M，再取值驗證即可；
（3）利用條件，構造函數f（x）=滿足f（x）∈M，驗證條件即可．
解答：解：（1）證明：由題意，當x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂時，f（）≤成立
設x₁≤0≤x₂，且＜0，
∵-f（）==
∴f（）≤成立
設x₁≤0≤x₂，且≥0，
∵-f（）==
∴f（）≤成立
∴綜上所述，f（x）∈M；
（2）如函數f（x）=-x²，f（x）∉M
取x₁=-1，x₂=1，則=-1，f（）=0
此時f（）≤不成立；
（3）f（x）=滿足f（x）∈M，且==1，==1．
點評：本題考查新定義，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．