Question

（本小題滿分12分）美國華爾街的次貸危機引起的金融風暴席卷全球，低迷的市場造成產品銷售越來越難，為此某廠家舉行大型的促銷活動，經測算該產品的銷售量P萬件(生產量與銷售量相等)與促銷費用萬元滿足，已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為元/萬件.
（Ⅰ）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；
（Ⅱ）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大。

Answer 1

（I），（）；
（II）促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大 。

解析試題分析：（1）根據產品的利潤=銷售額-產品的成本建立函數關系；
（2）利用基本不等式可求出該函數的最值，注意等號成立的條件．
（I）由題意知，該產品售價為元，  代入化簡的  ，（）………………6分
（II）
當且僅當時，上式取等號 所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大                                    ……………12分
考點：本試題主要考查了函數模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．
點評：解決該試題的關鍵是利用已知中產品的售價以及銷售量來表示收入，再減去成本得到利潤函數。并能靈活運用均值不等式得到最值。