Question

奇函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），值域為R，當且僅當x＞1時，f（x）＞0．
關于f（x）有如下命題：①f（-1）=0；②方程f（x）=0有無窮解；③f（x）有最小值，但無最大值；④f（x）的圖象關于原點對稱，且f（x）是周期函數．其中正確命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：根據題意，分析易得當0＜x≤1時，有f（x）≤0，進而用分析f（x）＜0，可得與已知條件的矛盾，易得f（x）=0，即可得在區間（0，1]上，均有f（x）=0，又由奇函數的對稱性可得其在區間[-1，0）上，也有均有f（x）=0，綜合可得得當x∈[-1，0）∪（0，1]，均有f（x）=0；進而分析4個命題，易得①②正誤，由函數最值的意義可得③的正誤，由周期函數的定義可得④的正誤；綜合可得答案．

解答：解：根據題意，當且僅當x＞1時，f（x）＞0，當0＜x≤1時，有f（x）≤0，
若f（x）＜0，則在區間-1＜-x＜0上，有f（-x）=-f（x）＞0，與題意不符，故f（x）=0，即在區間（0，1]上，均有f（x）=0，
又由f（x）是奇函數，則在區間[-1，0）上，也有均有f（x）=0，
綜合可得當x∈[-1，0）∪（0，1]，均有f（x）=0，
對于①f（-1）=0，正確；
對于②方程f（x）=0當x∈[-1，0）∪（0，1]均成立，則方程f（x）=0有無窮解，正確；
對于③由題意無法判斷f（x）有最小值、最大值情況，錯誤；
對于④f（x）的圖象關于原點對稱，但f（x）不是周期函數，錯誤；
即命題①②正確；
故答案為①②．

點評：本題考查函數奇偶性的性質，解題的關鍵在于把握題干中“當且僅當x＞1時，f（x）＞0”這一條件，進而對x在其他范圍進行分類討論．