Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質定理和面面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用等積變形和三棱錐的條件計算公式即可得出．

解答：（1）證明：取PD的中點為M，連接ME，MF，∵E是PC的中點，∴ME是△PCD的中位線．∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中點，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
連接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）解：∵E是PC的中點，
∴點P到平面EFD的距離與點C到平面EFD的距離相等，故V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC，
又S_△DFC=

1

2

×2×

3

=

3

，E到平面DFC的距離h=

1

2

PA=

1

2

，
∴V_E-DFC=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直與平行的判定定理和性質定理及利用等積變形計算三棱錐的體積的方法是解題的關鍵．