Question

（2013•韶關二模）設點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點，其中F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，若tan∠PF₂F₁=3，則雙曲線的離心率為

10

2

．

Answer 1

分析：先由雙曲線定義和已知求出兩個焦半徑的長，再由已知圓的半徑為半焦距，知焦點三角形為直角三角形，從而由勾股定理得關于a、c的等式，求得離心率

解答：解：∵圓x²+y²=a²+b²的半徑r=

a2+b2

=c，
∴F₁F₂是圓的直徑，
∴∠F₁PF₂=90°
依據雙曲線的定義：|PF₁|-|PF₂|=2a，
又∵在Rt△F₁PF₂中，tan∠PF₂F₁=3，
即|PF₁|=3|PF₂|，
∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
在直角三角形F₁PF₂中
由（3a）²+a²=（2c）²，
得e=

c2 a2

=

10

2

．
故答案為：

10

2

．

點評：本題考查了雙曲線的定義，雙曲線的幾何性質，離心率的求法，屬于中檔題．