Question

（2012•福州模擬）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）當PB取得最小值時，請解答以下問題：
（i）求四棱錐P-BDEF的體積；
（ii）若點Q滿足

AQ

=λ

QP

 （λ＞0），試探究：直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于

π

4

？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的對角線互相垂直證明BD⊥AO，證明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用線面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系O-xyz．（ⅰ）設AO∩BD=H，PO=x，則

PB

=

OB

-

OP

=（ 2

3

-x，2，-x），從而確定PB的最小值，進而可得四棱錐P-BDEF的體積；
（ⅱ）確定

OQ

的坐標，求出平面PBD的法向量

n

=(1，0，1)，利用向量的夾角公式可求直線OQ與平面PBD所成的角，從而可得結論成立．

解答：（Ⅰ）證明：∵菱形ABCD的對角線互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．（5分）
（�。┰OAO∩BD=H．因為∠DAB=60°，所以△BDC為等邊三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2

3

．
又設PO=x，則OH=2

3

-x，OA=4

3

-x．
所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2

3

-x，2，0），
故

PB

=

OB

-

OP

=（ 2

3

-x，2，-x），（6分）
所以|

PB

|=

2(x- 3 )2+10

，
∴當x=

3

時，|PB|_min=

10

．
此時PO=

3

，OH=

3

（7分）
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以VP-BDEF=

1

3

(

3

4

×42-

3

4

×22)×

3

=3．（8分）
（ⅱ）設點Q的坐標為（a，0，c），由（i）知，OP=

3

，則A（3

3

，0，0），B（

3

，2，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，

3

）．
所以

AQ

=(a-3

3

，0，c)，

QP

=(-a，0，

3

-c)，（9分）
∵

AQ

=λ

QP

 （λ＞0），
∴

a-3 3 =-λa c= 3 λ-λc

，∴

a= 3 3 λ+1 c= 3 λ λ+1

．
∴Q（

3 3

λ+1

，

3 λ

λ+1

），
∴

OQ

=（

3 3

λ+1

，0，

3 λ

λ+1

）．    （10分）
設平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

PB

=0，

n

•

BD

=0．
∵

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)，∴

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，
取x=1，解得：y=0，z=1，所以

n

=(1，0，1)．（11分）
設直線OQ與平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

|3+λ|

2 • 9+λ2

=

1

2

×

1+ 6λ 9+λ2

．（12分）
又∵λ＞0∴sinθ＞

2

2

．（13分）
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ＞

π

4

．
因此直線OQ與平面PBD所成角大于

π

4

，即結論成立． （14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵．