Question

1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點．

(1)證明：BE∥平面PAD；

(2)平面EBD能垂直于平面ABCD嗎，為什么？

2．在本題中，若平面EBD⊥平面ABCD，則四邊形ABCD需滿足什么說明條件？

Answer 1

答案：
解析：

1．(1)證明：如圖，取PD的中點F，連結EF、AF，則EF∥CD，且CD＝2EF． 　　又∵AB∥CD，CD＝2AB，∴EF∥AB且EF＝AB． 　　∴四邊形ABEF是平行四邊形． 　　∴AF∥BE．而AF平面PAD．∴BE∥平面PAD． 　　(2)解：如圖假設平面EBD能垂直于底面ABCD，過點E作EO⊥BD于點O，連結AO、CO． 　　∵面BDE∩面ABCD＝BD，且EO面BDE，∴EO⊥面ABCD． 　　又∵PA⊥面ABCD，直線AC是PC在面ABCD上的射影， 　　∴平面ABCD的一條斜線PC上點E在面ABCD內的射影O在直線AC上． 　　同時，EO∥PA．又E為PC的中點， 　　∴O為AC的中點．由AB∥CD可知△ABO∽△CDO，且相似比為． 　　∴AB＝CD．這與已知條件四邊形ABCD為梯形，且CD＝2AB矛盾． 　　∴假設“平面BDE⊥平面ABCD”是不成立的． 　　因此，平面BDE不能垂直于平面ABCD． 　　2．四邊形ABCD為平行四邊形． 　　思路分析：證線面平行，只要證出線平行于面內的一條直線即可．由E為PC的中點，所以取PD的中點F．

提示：

解答探索性問題時，可從假設命題成立入手，若導出矛盾，說明假設不成立；若導不出矛盾，說明假設成立．