Question

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=

1

2

CD=2，PA=2，M，E，F分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）證明EF∥平面PAB，只需證明AB∥EF，利用三角形中位線的性質及AB∥CD可得；
（2）先證明EF⊥平面PAD，可得EF⊥PD，再證明PD⊥AF，即可證明PD⊥平面ABEF；
（3）求出M到平面ABEF的距離，ME的長，即可求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

解答：（1）證明：∵E、F分別是PC、PD的中點，∴EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，
∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）證明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴PA⊥AB，
∵AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
∵AB∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF⊥PD，
∵PA=AD=2，F是PD的中點，
∴PD⊥AF，
∵EF∩AF=F，
∴PD⊥平面ABEF；
（3）解：由（2）知，P到平面ABEF的距離為

2

，∴M到平面ABEF的距離為

2

2

，
又MF=1，EF=2，∴ME=

5

，
∴直線ME與平面ABEF所成角的正弦值為

2 2

5

=

10

10

．

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，正確運用線面平行，線面垂直的判定定理是關鍵．